(Решено) Найдите сумму всех значений x∈[0∘,10∘] в градусах, при каждом из которых выполнено равенство(4cos2x−1)(4cos23x−1)(4cos29x−1)(4cos227x−1)+sin281x+cos…

Вопрос от пользователя:

Найдите сумму всех значений x∈[0∘,10∘]
в градусах, при каждом из которых выполнено равенство
(4cos2x−1)(4cos23x−1)(4cos29x−1)(4cos227x−1)+sin281x+cos281x=0.
Эту сумму запишите в виде mn,
где m,n
взаимно простые натуральные числа. В ответе укажите m+n.

Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

Ваш вопрос в очереди на обработку, пожалуйста подождите.

Подождите!

Не закрывайте страницу. Нейросеть пишет ответ. Он появится тут.

Этот ответ написан нейросетью.

Внимание! Ответы искусственного интеллекта могут быть неточными. Не полагайтесь на них в медицине, юриспруденции, финансах и вопросах безопасности. При принятии важных решений всегда консультируйтесь с профильными специалистами.
Администрация сайта не несет ответственности за любой автоматически созданный контент. Если вы обнаружили ошибки, пожалуйста, сообщите об этом через кнопку "репорт" внизу ответа и мы примем соответствующие меры. Спасибо за вашу помощь в улучшении качества нашего сервиса.

Задать новый вопрос

Ответ нейросети:

Для начала рассмотрим выражение (4cos2x−1)(4cos23x−1)(4cos29x−1)(4cos227x−1)+sin281x+cos281x. Обратим внимание, что оба слагаемых sin281x и cos281x являются периодическими функциями с периодом T=360°/81=40°. Поэтому достаточно рассмотреть только значения x в промежутке от 0° до 40°.

Теперь рассмотрим слагаемые вида (4coskx−1) для k=2, 23, 29, 227. Заметим, что каждое из этих слагаемых принимает значение -1 только при соблюдении условия cos(kx)=0. То есть, нужно рассмотреть уравнения kx=(2n+1)π/2 для целых n.

Для k=2 получаем x=(2n+1)π/4.
Для k=23 получаем x=(2n+1)8π/23.
Для k=29 получаем x=(2n+1)π/29.
Для k=227 получаем x=(2n+1)8π/227.

Таким образом, для каждого из значений x из указанных промежутков получаем некоторое число x в градусах. Возьмем все такие значения x и сложим их. Получим искомую сумму.

Теперь перейдем к вычислениям. Подставим значения x=(2n+1)π/4 в выражение (4cos2x−1)(4cos23x−1)(4cos29x−1)(4cos227x−1)+sin281x+cos281x. Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

- Подставим x=(2n+1)π/4 в слагаемое (4cos2x−1). Получаем (4cos2(2n+1)π/4−1)=(4cos(2n+1)π/2−1). Заметим, что cos(2n+1)π/2 равно 0 при n=0. Таким образом, для n=0 имеем (4cos2x−1)=0. Но также отметим, что при n=0 получаем значения x=π/4 и 3π/4, которые уже учтены в других слагаемых. Поэтому исключаем их и считаем сумму для n от 1 до бесконечности. Получаем сумму 4cos(2n+1)π/2−1 для n от 1 до бесконечности.

- Подставим x=(2n+1)π/4 в слагаемое (4cos23x−1). Получаем (4cos23(2n+1)π/4−1)=(4cos(2n+1)3π/2−1). Заметим, что cos(2n+1)3π/2 равно 0 при n=1. Таким образом, для n=1 имеем (4cos23x−1)=0. При этом при n=1 получаем значения x=7π/4 и 15π/4, которые уже учтены в других слагаемых. Поэтому исключаем их и считаем сумму для n от 0 до бесконечности. Получаем сумму 4cos(2n+1)3π/2−1 для n от 0 до бесконечности.

- Подставим x=(2n+1)π/4 в слагаемое (4cos29x−1). Получаем (4cos29(2n+1)π/4−1)=(4cos(2n+1)9π/2−1). Заметим, что cos(2n+1)9π/2 равно 0 при n=0. Таким образом, для n=0 имеем (4cos29x−1)=0. При этом при n=0 получаем значения x=π/4 и 9π/4, которые уже учтены в других слагаемых. Поэтому исключаем их и считаем сумму для n от 1 до бесконечности. Получаем сумму 4cos(2n+1)9π/2−1 для n от 1 до бесконечности.

- Подставим x=(2n+1)π/4 в слагаемое (4cos227x−1). Получаем (4cos227(2n+1)π/4−1)=(4cos(2n+1)227π/2−1). Заметим, что cos(2n+1)227π/2 равно 0 при n=1. Таким образом, для n=1 имеем (4cos227x−1)=0. При этом при n=1 получаем значения x=65π/4 и 129π/4, которые уже учтены в других слагаемых. Поэтому исключаем их и считаем сумму для n от 0 до бесконечности. Получаем сумму 4cos(2n+1)227π/2−1 для n от 0 до бесконечности.

Теперь рассмотрим слагаемые sin281x и cos281x. Заметим, что при x=8π/281 получаем sin281x=0 и cos281x=1. Поэтому добавим это значение к нашей сумме.

Таким образом, сумма всех значений x∈[0∘, 10∘], удовлетворяющих указанным равенствам, равна сумме 4cos(2n+1)π/2−1, 4cos(2n+1)3π/2−1, 4cos(2n+1)9π/2−1, 4cos(2n+1)227π/2−1 для n от 1 до бесконечности, а также добавленному значению sin(8π/281)+cos(8π/281).

Осталось вычислить указанную сумму. Для этого учтем, что синус и косинус принимают значения от -1 до 1, а значение каждого слагаемого равно -1 при соблюдении указанных равенств.

Начнем с суммы 4cos(2n+1)π/2−1. Слагаемые с номерами n от 1 до 10 дают нам -10, затем получаем -10 суммированием с номером n от 20 до 100 включительно, так как у нас число 10 пропущено два раза (при n=20 и n=100). Продолжая подобным образом, получаем для каждого десятка сумму -10. Всего у нас 100 десятков, поэтому сумма равна -10*100=-1000.

Аналогичные рассуждения можно применить и к оставшимся суммам. Сумма 4cos(2n+1)3π/2−1 также равна -1000, сумма 4cos(2n+1)9π/2−1 равна -1000, а сумма 4cos(2n+1)227π/2−1 равна -1000.

Теперь рассмотрим слагаемое sin(8π/281)+cos(8π/281). Значения синуса и косинуса при данном аргументе приближенно равны -0,8192 и 0,5736 соответственно. Сумма этих значений округляется до -0.2456.

Окончательная сумма всех значений равна -1000 + (-1000) + (-1000) + (-1000) + (-0.2456) = -5000.2456.

Ответ: -5000 + (-0.2456) = -5000.25.

Таким образом, m+n = 5000 + 25 = 5025.

Понравилось? Поделись :)

⚠️Зарепортить пост!