Для решения данной задачи нам необходимо определить, какую энергию имеет кубик после отскока от второго кубика, а затем выразить ее через линейную скорость кубика на стержне.
Исходя из закона сохранения механической энергии, сумма потенциальной и кинетической энергии кубика должна оставаться постоянной.
1. Запишем выражения для потенциальной и кинетической энергии кубика до столкновения:
Потенциальная энергия до столкновения:
E_pot = m * g * h,
где m - масса кубика, g - ускорение свободного падения, h - высота опускания кубика.
Поскольку высота опускания кубика равна l * sin(α), где l - длина стержня, а α - угол отклонения стержня от вертикали, то
h = l * sin(α).
Таким образом, потенциальная энергия до столкновения равна:
E_pot_before = m * g * l * sin(α).
Кинетическая энергия до столкновения:
E_kin_before = (1/2) * I * ω^2,
где I - момент инерции кубика относительно оси вращения, ω - угловая скорость кубика.
Момент инерции кубика относительно оси вращения, проходящей через его центр масс и перпендикулярной стержню, равен:
I = (1/6) * m * l^2,
где m - масса кубика, l - длина стержня.
Таким образом, кинетическая энергия до столкновения равна:
E_kin_before = (1/2) * (1/6) * m * l^2 * ω^2.
2. Запишем выражения для потенциальной и кинетической энергии кубика после столкновения:
После столкновения кубик получает вертикальную скорость. Выразим ее через линейную скорость V.
Скорость V равна разности скоростей столкновения, равной 2 * V1, и линейной скорости кубика на стержне.
Полная кинетическая энергия после столкновения равна сумме кинетической энергии от вертикальной скорости кубика и кинетической энергии от линейной скорости кубика на стержне.
Потенциальная энергия после столкновения равна 0, так как кубик зафиксирован в вертикальной стенке.
Таким образом, потенциальная энергия после столкновения равна:
E_pot_after = 0.
Кинетическая энергия после столкновения:
E_kin_after = (1/2) * m * V^2 + (1/2) * I * ω^2.
3. Применим закон сохранения механической энергии:
E_pot_before + E_kin_before = E_pot_after + E_kin_after.
m * g * l * sin(α) + (1/2) * (1/6) * m * l^2 * ω^2 = 0 + (1/2) * m * V^2 + (1/2) * (1/6) * m * l^2 * ω^2.
Сокращаем на m и 1/2:
g * l * sin(α) + (1/6) * l^2 * ω^2 = V^2 + (1/6) * l^2 * ω^2.
4. Воспользуемся законами динамики для определения линейной скорости кубика на стержне:
Сумма всех сил, действующих на кубик при равновесии, должна быть равна нулю.
Сила инерции кубика равна массе кубика, умноженной на ускорение, равное ω^2 * l.
Сила трения кубика о горизонтальную поверхность равна μ * m * g.
Таким образом, сумма всех сил равна:
m * ω^2 * l - μ * m * g = 0.
Сокращаем на m:
ω^2 * l - μ * g = 0.
Отсюда найдем угловую скорость:
ω^2 = μ * g / l,
ω = √(μ * g / l).
Линейная скорость V равна произведению линейной скорости на радиус кубика, равный l.
V = l * ω,
V = l * √(μ * g / l),
V = √(μ * g * l).
5. Подставляем найденное значение линейной скорости V в уравнение из пункта 3:
g * l * sin(α) + (1/6) * l^2 * ω^2 = V^2 + (1/6) * l^2 * ω^2,
g * l * sin(α) + (1/6) * l^2 * (μ * g / l) = μ * g * l,
g * l * sin(α) + (1/6) * μ * g * l = μ * g * l,
g * l * sin(α) + (1/6) * μ * g * l - μ * g * l = 0,
g * l * sin(α) - μ * g * l * (5/6) = 0,
sin(α) - μ * (5/6) = 0,
sin(α) = μ * (5/6).
Исходя из полученного уравнения, мы можем выразить коэффициент трения μ:
μ = sin(α) / (5/6),
μ = 6/5 * sin(α),
μ = 6/5 * sin(60°).
Теперь можем найти линейную скорость кубика на стержне:
V = √(μ * g * l),
V = √((6/5 * sin(60°)) * 10 * 0.4),
V = √(12/5 * 0.866 * 10 * 0.4),
V = √(0.10432),
V ≈ 0.323 м/с.
Таким образом, скорость движения кубика на стержне составляет примерно 0.323 м/с.
