Для решения данной задачи нам нужно последовательно заполнить таблицу 2×4 буквами A, B, C и D таким образом, чтобы выполнялись условия задачи. Для удобства введем обозначения: A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1 и D2 для клеток таблицы.
1. Заполнение первой строки:
В первой строке должны быть все разные буквы из заданных четырех (A, B, C, D), чтобы выполнялось условие встречи каждой буквы ровно один раз в каждой строке. Таким образом, первую строку можно заполнить 4! = 24 способами.
2. Заполнение второй строки:
После того как первая строка заполнена, находим количество способов заполнить вторую строку. Для каждой из четырех клеток второй строки есть только две возможности: поставить ту букву, которая не встречается в соответствующей клетке из первой строки. Таким образом, количество способов заполнить вторую строку равно 2 * 2 * 2 * 2 = 16.
3. Учет квадратов 2×2:
Теперь нам нужно учесть условие, что в каждом квадрате 2×2 каждая из четырех букв встречается ровно один раз. Если мы рассмотрим каждый квадрат 2×2, то заметим, что в каждом из них должны быть 4 разные буквы. Поскольку мы уже учли условие для строк, то остается рассмотреть только квадраты и проверить, сколько способов можно их заполнить так, чтобы выполнялось условие.
4. Расстановка букв в квадратах 2×2:
Для каждого квадрата 2×2 выберем первую клетку. Всего у нас 3! = 6 способов выбрать четыре различные буквы из A, B, C и D. После этого остается только один способ заполнить оставшиеся три клетки в квадрате, чтобы выполнялось условие. Таким образом, для каждого квадрата 2×2 находим 6 способов.
5. Общее количество способов:
Учитывая все вышеперечисленные шаги, общее количество способов, которыми Айнур может расставить буквы A, B, C и D в таблице 2×4 так, чтобы условия задачи выполнялись, равно:
24 (заполнение первой строки) * 16 (заполнение второй строки) * 6^2 (квадраты 2×2) = 4608 способов.
Таким образом, Айнур может сделать это 4608 способами.