Для решения данной задачи используем закон Паскаля, который гласит, что давление в жидкости передаётся во все её точки одинаково.
Так как уровень жидкости в сосуде зависит от залитого объёма, то воспользуемся формулой для определения объёма фигуры вращения: V = ∫πy^2dx, где y – функция, описывающая зависимость уровня жидкости от объёма:
V = π∫(R - f(x))^2dx,
где R – радиус дна сосуда, f(x) – функция, описывающая зависимость уровня жидкости от залитого объёма.
Перейдём к решению:
1. Определим функцию f(x) для данной зависимости уровня жидкости от залитого объёма. Для этого построим график исходной зависимости уровня жидкости от залитого объёма:
На графике видно, что зависимость между уровнем жидкости y и объемом V может быть описана параболой вида:
y = ax^2 + bx + c.
Используем точки (0, 0), (V/2, V/2) и (V, 0), чтобы найти коэффициенты a, b и c. Получаем систему уравнений:
0 = c,
V/2 = a(V/2)^2 + b(V/2) + c,
0 = aV^2 + bV + c.
Решив данную систему уравнений, получаем: c = 0, b = -V/2a, a = 4/V^2.
Таким образом, функция f(x) имеет вид: f(x) = 4x^2/V^2 - x.
2. Теперь, используя данную функцию f(x), найдём значение площади поверхности жидкости, когда сосуд заполнен на половину объёма. Для этого найдём сначала значения x, при которых уровень жидкости составляет половину объёма V. Имеем:
y = f(x) = 4x^2/V^2 - x = V/2.
Решим это уравнение и найдём два значения x: x_1 и x_2.
4x^2/V^2 - x - V/2 = 0.
Решая данное уравнение, получаем: x_1 = V/2, x_2 = -V/4.
Очевидно, что положительное значение x соответствует точке, где уровень жидкости достигает половины объёма. Тогда площадь поверхности жидкости в этой точке будет равна площади фигуры, полученной вращением графика функции f(x) от 0 до x_1 вокруг оси Ox (для 0 ≤ x ≤ x_1).
Площадь поверхности жидкости в этой точке можно найти, используя формулу для площади поверхности фигуры вращения:
S = 2π∫y*sqrt(1 + (dy/dx)^2)dx,
где dy/dx – производная функции y = f(x).
Продифференцируем функцию y = f(x) и найдём dy/dx:
dy/dx = d(4x^2/V^2 - x)/dx = (8x/V^2) - 1.
Теперь, используя найденную производную и значение x_1 = V/2, найдём площадь поверхности жидкости:
S = 2π∫((4x^2/V^2 - x)*sqrt(1 + ((8x/V^2) - 1)^2)dx), где интегрирование проводится от 0 до x_1.
Подставим значения и вычислим интергал:
S = 2π∫((4x^2/V^2 - x)*sqrt(1 + ((8x/V^2) - 1)^2)dx) = π∫(8x^2/V^2 - 2x)*sqrt(1 + (16x^2/V^4 - 16x/V^2 + 1)dx) =
= π∫(8x^2/V^2 - 2x)*sqrt(1 + 16x^2/V^4 - 16x/V^2 + 1)dx =
= π∫(8x^2/V^2 - 2x)*sqrt((16x^2 + 16V^2 - 16xV^2)/V^4)dx =
= π∫(8x^2/V^2 - 2x)*sqrt((16x^2 + 16V^2 - 16xV^2)/V^4)dx =
= π∫(8x^2/V^2 - 2x)*sqrt((16(x^2 - xV^2 + V^2))/V^4)dx =
= π∫(8x^2/V^2 - 2x)*sqrt(16(x - V/2)^2)/V^2 dx =
= 4π∫(x^2 - x)*sqrt(16(x - V/2)^2)/V^2 dx.
Вынесем из под корня (16(x - V/2)^2):
S = 4π∫(x^2 - x)*4(x - V/2)/V^2 dx =
= 16π∫(x^3 - x^2 - Vx^2 + Vx)/V^2 dx =
= 16π∫(x^3 - (1 + V)x^2 + xV)/V^2 dx.
Теперь подставим пределы интегрирования, интегрируем данную функцию и вычислим площадь поверхности жидкости:
S = 16π∫(x^3 - (1 + V)x^2 + xV)/V^2 dx = 16π∫(x^3 - x^2/V - Vx^2/V + x)/V dx =
= 16π/V[(x^4/4) - (x^3/3V) - (Vx^3/3V^2) + (x^2/2) + (x^2/2V)] | от 0 до V/2 =
= 16π/V[((V/2)^4/4) - ((V/2)^3/3V) - (V(V/2)^3/3V^2) + ((V/2)^2/2) + ((V/2)^2/2V) -
- (0/4) + (0/3V) + (V(0)^3/3V^2) - (0/2) - (0/2V)] =
= 16π/V[(V^4/64)/4 - (V^3/24V) - (V^4/48V^2) + (V^2/8) + (V^2/8V)] =
= 16π/V[(V^4/256) - (V^3/24V) - (V^4/48V^2) + (V^2/8) + (V/8)] =
= 16π/V[(V^4 - 6V^3 - 3V^4 + 24V^2 + 3V^3)/192V^2] =
= 16π/V[(V^4 - 3V^4 + 3V^3 + 24V^2 - 6V^3)/192V^2] =
= 16π/V[(V^4 - 3V^4 + 3V^3 + 24V^2 - 6V^3)/192V^2] =
= 16π/V[(4V^4 - 3V^4 + 3V^3 + 24V^2)/192V^2] =
= 16π/V[(V^3(4 - 3V) + 3V^2(4 + 8))/192V^2] =
= 16π/V[(4V^3 - 3V^4 + 12V^2)/192V^2] =
= 16π/V[(4V^3 - 3V^4 + 12V^2)/(192V^2/1)] =
= 16π/V[1/48*(4V^3 - 3V^4 + 12V^2)] =
= [16π/48]*(4V^3 - 3V^4 + 12V^2) =
= (π/3)*(4V^3 - 3V^4 + 12V^2).
Ответ: площадь поверхности жидкости, когда сосуд заполнен на половину объёма, равна (π/3)*(4V^3 - 3V^4 + 12V^2).
3. Далее, определим силу давления жидкости на дно полного сосуда. Давление жидкости на глубине h граничит с давлением воздуха над ней, то есть давление P_глубина = P_атм. Пользуясь формулой для давления жидкости:
P_глубина = P_атм + ρgh,
где P_глубина - давление жидкости на глубине h, P_атм - атмосферное давление, ρ - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения, h - глубина.
Поскольку атмосферное давление пренебрежимо мало, то P_атм будет равно нулю. Значит, формула может быть записана как:
P_глубина = ρgh.
Для нашего случая, когда сосуд полностью заполнен жидкостью, глубина h будет равна высоте сосуда H:
P_дно = ρgH.
Теперь, подставим известные значения и рассчитаем силу давления жидкости на дно полного сосуда:
P_дно = ρgH = (1000 кг/м^3)*(10 м/с^2)*H = 10 000H Н/м^2.
Ответ: сила давления жидкости на дно полного сосуда равна 10 000H Н.
Напишите нам, если в вопросе есть ваши персональные данные:
[email protected]
