Для решения данной задачи воспользуемся формулой включения-исключения и системой уравнений.
Обозначим:
- P(a) - вероятность события a,
- P(b) - вероятность события b,
- P(c) - вероятность события c.
Из условия имеем:
P(a) + P(b) - P(a и b) = 0,34, (1)
P(a) + P(c) - P(a и c) = 0,76. (2)
Так как события a и b, a и c несовместны по определению, то P(a и b) = 0 и P(a и c) = 0.
Подставим это в уравнения (1) и (2):
P(a) + P(b) = 0,34, (3)
P(a) + P(c) = 0,76. (4)
Из уравнений (3) и (4) выразим P(a):
P(a) = 0,76 - P(c). (5)
Подставим это значение обратно в уравнение (3):
0,76 - P(c) + P(b) = 0,34,
0,42 = P(c) - P(b). (6)
Также зная, что все вероятности неотрицательны и сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1, можем записать следующие условия:
P(a) ≥ 0, P(b) ≥ 0, P(c) ≥ 0,
P(a) + P(b) + P(c) = 1. (7)
Теперь решим систему уравнений (5), (6) и (7) методом подстановки:
1. Подставим (5) в (6):
0,42 = (0,76 - P(c)) - P(b),
0,42 = 0,76 - P(c) - P(b),
P(c) + P(b) = 0,34. (8)
2. Подставим (5) в (7):
P(a) + P(b) + P(c) = 1,
0,76 - P(c) + P(b) + P(c) = 1,
0,76 + P(b) = 1,
P(b) = 0,24. (9)
3. Используем (9) и (8):
P(c) + 0,24 = 0,34,
P(c) = 0,34 - 0,24,
P(c) = 0,10. (10)
Теперь найдем P(a):
P(a) = 0,76 - 0,10,
P(a) = 0,66. (11)
Таким образом, вероятности элементарных событий a, b, c равны:
P(a) = 0,66,
P(b) = 0,24,
P(c) = 0,10.