Дано: В пятиугольнике ABCDE ∠A = ∠B = 90◦, AE = BC и ED = DC. На AB отмечены четыре точки, делящие его на пять равных частей. Площадь темной заштрихованной области равна 13 см², а светлой заштрихованной – 10 см².
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим точки деления отрезка AB как M1, M2, M3, и M4, причем AM1=M1M2=M2M3=M3M4=M4B. Это гарантирует равенство площадей темной и светлой заштрихованных областей, так как их общая площадь разделена на равные части.
Посмотрим на правильный прямоугольный треугольник AED (так как ∠A = ∠B = 90◦ и AE = ED). По теореме Пифагора, AD2 = AE2 + ED2, что означает, что AD = √(AE2 + ED2) = √(AE2 + DC2) = √(AE2 + (2AE)2) = √(AE2 + 4AE2) = √5AE2 = AE√5. Таким образом, получаем, что AD = AE√5.
Теперь рассмотрим треугольник AM1M2. Он равнобедренный, так как AM1 = M1M2. Пусть AM1 = x. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AM1D имеем: AD2 = AM1^2 + MD^2. Подставляя значения AD = AE√5 и AM1 = x, получаем выражение: (AE√5)^2 = x^2 + (2AE)^2, откуда 5AE2 = x2 + 4AE2, что приводит к x2 = AE2. Таким образом, AM1 = x = AE = DC.
Так как AM1 = M1M2 = M2M3 = M3M4 = M4B = AE = DC, то M1B = 4AE = 4DC.
Обозначим сторону пятиугольника как a. Теперь обратимся к площадям темной и светлой заштрихованных областей. Площадь темной области равна 13 см², что составляет 2/5 площади треугольника AEB, так как это еще две части пятиугольника. Площадь светлой области равна 10 см², что составляет 1/5 площади треугольника AEB, что соответствует одной части пятиугольника.
Поскольку площадь темной области равна 2/5 * Площадь(AEB) = 13 и площадь светлой области равна 1/5 * Площадь(AEB) = 10, можем записать два уравнения:
2/5 * (0.5 * AE * AB) = 13,
1/5 * (0.5 * AE * AB) = 10.
Учитывая, что AEB - это прямоугольный треугольник, можем записать площадь AEB через произведение катетов, следовательно:
2/5 * (0.5 * AE * (4AE)) = 13,
1/5 * (0.5 * AE * (4AE)) = 10,
2/5 * ((2AE^2)) = 13,
1/5 * ((2AE^2)) = 10,
(4/5) * (AE^2) = 13,
(2/5) * (AE^2) = 10,
4 * AE^2 = 65,
2 * AE^2 = 50,
AE^2 = 65 / 4 = 16.25,
AE = sqrt(16.25) = 4.03.
Теперь находим AB = 4 * AE = 16.12 и AD = AE * sqrt(5) = 4.03 * sqrt(5) ≈ 9.013.
Площадь прямоугольного треугольника AED равна 0.5 * AE * AD = 0.5 * 4.03 * 9.013 ≈ 18.21 (или точнее, но округляем результат до второго знака после запятой). Так как треугольник AED составляет 2/5 от всей площади пятиугольника, то площадь пятиугольника равна 18.21 / (2/5) = 45.525 см².
Итак, площадь всего пятиугольника равна приблизительно 45.525 квадратных сантиметра.