Для начала давайте разберемся в геометрической задаче, описанной в условии. Для удобства, обозначим радиусы трех полуокружностей как r1, r2 и r3, а длину более короткой стороны прямоугольника - x, а длину более длинной стороны - y.
Из условия, мы знаем, что расстояние от самой большой полуокружности до длинной стороны прямоугольника равно радиусу этой полуокружности, то есть r1. Также даны кратчайшие расстояния от большой стороны прямоугольника до двух других полуокружностей, которые равны 5 см и 7 см соответственно.
Теперь, обратим внимание на то, что в точке касания полуокружности r1 с более длинной стороной прямоугольника образуется равнобедренный треугольник со стороной r1 и катетами, равными y и (y-2r1). Так как одна из катетов равна y, а другая (y-2r1) представляет собой сумму расстояний от большей стороны прямоугольника до касательной (5 см) и радиуса r1, то получаем уравнение y = (2r1 + 5). Равенство катетов равнобедренного треугольника также позволяет записать x = 2r2 и (x+r3) = 2r2 + 5.
Далее, обратим внимание на треугольник, образуемый самой длинной стороной прямоугольника и радиусами r2 и r3. Он также является равнобедренным, поскольку расстояния от стороны прямоугольника до полуокружностей r2 и r3 равны и, следовательно, r2 = r3. Таким образом, (x + y) = 2r2 + r1 = 2r1 + 5.
Теперь, у нас есть система уравнений, состоящая из четырех уравнений:
1) x = 2r2
2) y = 2r1 + 5
3) x + r3 = 2r2 + 5
4) x + y = 2r1 + r2
Решив эту систему уравнений, мы найдем значения x, y, r1, r2 и r3. Однако, поскольку в вопросе нас просят найти периметр прямоугольника, можно заметить, что периметр равен 2x + 2y (так как прямоугольник состоит из двух равных частей), и равен 4r2 + 4r2 = 8r2.
Таким образом, исходя из решения системы уравнений и нахождения значения r2, мы можем определить периметр прямоугольника, который равен 8*r2.