Для решения данной задачи посчитаем все возможные комбинации броска двух симметричных игральных костей. Каждая кость имеет 6 граней, поэтому общее количество комбинаций будет 6 * 6 = 36.
а) Наибольшее из выпавших очков (Х):
Для нахождения вероятности наибольшего значения находим количество благоприятных исходов. Всего существует 6 благоприятных исходов: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Следовательно, вероятность наибольшего значения равна 6/36 = 1/6.
б) Наименьшее из выпавших очков (Y):
Аналогично находим количество благоприятных исходов для наименьшего значения. Существует также 6 благоприятных исходов: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Вероятность наименьшего значения равна 6/36 = 1/6.
в) Сумма выпавших очков (S):
Для нахождения вероятности суммы выпавших очков опять находим количество благоприятных исходов. Теперь посчитаем, сколько различных комбинаций сумм выпадает на каждую из возможных сумм. Таблица будет иметь следующий вид:
Сумма | Количество комбинаций
2 | 1 (1+1)
3 | 2 (1+2, 2+1)
4 | 3 (1+3, 2+2, 3+1)
5 | 4 (1+4, 2+3, 3+2, 4+1)
6 | 5 (1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1)
7 | 6 (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1)
8 | 5 (2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2)
9 | 4 (3+6, 4+5, 5+4, 6+3)
10 | 3 (4+6, 5+5, 6+4)
11 | 2 (5+6, 6+5)
12 | 1 (6+6)
Итак, всего 36 комбинаций, из которых 1 случай - (1,1), даёт сумму 2, и 2 случая - (1,2) и (2,1), дают сумму 3, и так далее. Таким образом, получаем, что вероятность суммы равна 6/36 = 1/6.
г) Разность выпавших очков (T):
Аналогично, находим количество благоприятных исходов для разности значений. Поскольку разница нас не устраняется, мы должны учесть упорядоченные пары. В таблице их будет в два раза больше: по одной паре с каждой разницей.
Результат будет:
Разница | Количество комбинаций
0 | 6 (1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6)
1 | 10 (2-1, 3-2, 4-3, 5-4, 6-5 и обратные)
2 | 8 (3-1, 4-2, 5-3, 6-4 и обратные)
3 | 6 (4-1, 5-2, 6-3 и обратные)
4 | 4 (5-1, 6-2 и обратные)
5 | 2 (6-1 и обратное)
Итак, всего 36 комбинаций, из которых 6 случаев дадут разность 0 (то есть числа совпадают), 10 случаев - разность 1, 8 случаев - разность 2 и так далее. Вероятность разности равна 20/36 = 5/9.
д) Произведение чисел выпавших очков (М):
Анализируем все возможные произведения и находим количество благоприятных исходов. Заметим, что для каждого значения произведения (кроме 1 и 36) существует два благоприятных исхода: (1, N) и (N, 1), где N - сумма двух значений.
Как следствие, количество благоприятных исходов будет равно 2 * 6 * 5 = 60, так как столько комбинаций существует для каждого значения произведения, отличного от 1 и 36.
Итак, вероятность произведения чисел составит 60/36 = 5/3.
Таблица значений и вероятностей случайных величин:
| Случайная величина | Возможные значения | Вероятность |
|---------------------|---------------------|------------------|
| X | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 1/6 |
| Y | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 1/6 |
| S | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 | 1/6 |
| T | 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 5/9 |
| M | 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30 | 5/3 |