Для решения данной задачи воспользуемся биномиальным распределением, так как мы имеем дело с серией испытаний (проверка каждого изделия) с двумя возможными исходами: изделие либо признается годным, либо не признается.
Случайная величина (X) – число годных изделий из 5 проверенных. Вероятность того, что каждое изделие будет годным, равна 0,9, а вероятность того, что изделие будет не годным (бракованным), равна 0,1.
Формула биномиального распределения:
[ P(X = k) = C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^{n-k}, ]
где
( C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!} ) – число сочетаний из (n) по (k) (число комбинаций выбрать (k) из (n) элементов),
( n = 5 ) – количество проверяемых изделий,
( k ) – количество годных изделий (от 0 до 5),
( p = 0,9 ) – вероятность признания изделия годным,
( 1-p = 0,1 ) – вероятность признания изделия не годным.
Теперь составим закон распределения для случайной величины (X):
[ P(X = 0) = C_5^0 cdot 0,9^0 cdot 0,1^5 = 1 cdot 1 cdot 0,1^5 = 0,00001, ]
[ P(X = 1) = C_5^1 cdot 0,9^1 cdot 0,1^4 = 5 cdot 0,9 cdot 0,1^4 = 0,00045, ]
[ P(X = 2) = C_5^2 cdot 0,9^2 cdot 0,1^3 = 10 cdot 0,9^2 cdot 0,1^3 = 0,0081, ]
[ P(X = 3) = C_5^3 cdot 0,9^3 cdot 0,1^2 = 10 cdot 0,9^3 cdot 0,1^2 = 0,0729, ]
[ P(X = 4) = C_5^4 cdot 0,9^4 cdot 0,1^1 = 5 cdot 0,9^4 cdot 0,1 = 0,32805, ]
[ P(X = 5) = C_5^5 cdot 0,9^5 cdot 0,1^0 = 1 cdot 0,9^5 cdot 1 = 0,59049. ]
Таким образом, закон распределения числа годных изделий среди 5 проверенных:
[
begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
hline
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
hline
P(X) & 0,00001 & 0,00045 & 0,0081 & 0,0729 & 0,32805 & 0,59049 \
hline
end{array}
]
Теперь составим функцию распределения (F(X)), которая расчитывает вероятность того, что случайная величина (X) примет значение меньше или равное (k):
[ F(X) = sum_{i=0}^{k} P(X=i).]
[
begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
hline
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
hline
P(X) & 0,00001 & 0,00045 & 0,0081 & 0,0729 & 0,32805 & 0,59049 \
hline
F(X) & 0,00001 & 0,00046 & 0,00856 & 0,08146 & 0,40951 & 1 \
hline
end{array}
]
Построим график функции распределения (F(X)). На оси (x) отложены значения случайной величины (X), на оси (y) - вероятности (F(X)). График будет кусочно-линейным, пройдет через точки ( (0, 0,00001), (1, 0,00046), (2, 0,00856), (3, 0,08146), (4, 0,40951), (5, 1) ).
Таким образом, мы составили закон распределения и построили график функции распределения для случайной величины (X) - числа годных изделий среди 5 проверенных.