1. Отношение перпендикулярности на множестве всех прямых плоскости обладает следующими свойствами:
- Если прямая ( l_1 ) перпендикулярна прямой ( l_2 ), то прямая ( l_2 ) также перпендикулярна к ( l_1 ). То есть отношение перпендикулярности симметрично.
- Если прямая ( l_1 ) перпендикулярна к прямой ( l_2 ) и прямая ( l_2 ) перпендикулярна к прямой ( l_3 ), то прямая ( l_1 ) также перпендикулярна к прямой ( l_3 ). То есть отношение перпендикулярности транзитивно.
- Каждая прямая перпендикулярна сама к себе. То есть отношение рефлексивно.
- Для любых двух различных прямых существует не более одной прямой, которая была бы перпендикулярна им. То есть отношение антирефлексивно.
2. Отношение подобия на множестве всех треугольников плоскости обладает следующими свойствами:
- Если два треугольника подобны, то их соответствующие стороны пропорциональны, а углы равны. Это свойство называется подобие фигур.
- Подобие треугольников тоже симметрично: если треугольник A подобен треугольнику B, то треугольник B также подобен треугольнику A.
- Подобие треугольников также транзитивно: если треугольник A подобен треугольнику B и треугольник B подобен треугольнику C, то треугольник A подобен треугольнику C.
- У подобных треугольников соответствующие углы равны, и их соответствующие стороны имеют одинаковые угловые коэффициенты.
3. Построим граф отношения ( R ) на множестве ( X = {a, b, c, d, e, k} ) с графиком ( G = {(a, b), (a, c), (a, k), (b, b), (b, c), (c, c), (e, d), (e, k)} ).
Граф отношения ( R ) будет представлен на рисунке, где вершины обозначают элементы множества ( X ), а рёбра - элементы графа ( G ).
Граф отношения ( R ) на множестве ( X ) имеет следующий вид:
- Вершина a соединена с вершинами b, c, k.
- Вершина b соединена с самой собой и с вершиной c.
- Вершина c соединена с самой собой.
- Вершина e соединена с вершинами d, k.
Свойства отношения ( R ) на множестве ( X ) можно описать следующим образом:
- Отношение ( R ) рефлексивно, так как каждый элемент связан сам с собой (например, (b, b)).
- Отношение ( R ) симметрично, так как если элемент ( a ) связан с элементом ( b ), то и элемент ( b ) связан с элементом ( a ) (например, (a, b) и (b, a)).
- Отношение ( R ) не транзитивно, так как, например, не выполняется связь между ( a ) и ( c ) если (a, b) и (b, c), то (a, c).
- Отношение ( R ) антирефлексивно, так как нет элементов, которые были бы связаны самими с собой только напрямую.
Таким образом, отношение ( R ) на множестве ( X ) обладает указанными свойствами.