Для нахождения матрицы перехода из стандартного базиса в базис e′1,e′2,e′3 после поворота на угол 120 градусов, необходимо определить новые базисные векторы e′1, e′2, e′3.
Поворот вектора a=(1,1,1) на угол 120 градусов по часовой стрелке можно представить как поворот вектора (1,1,1) на угол -120 градусов, или как вектор (1,1,1) умноженный на матрицу поворота на угол -120 градусов в плоскости x=0, y=0.
Матрица поворота на угол θ в плоскости x=0, y=0 имеет вид:
R(θ) = [cos(θ) -sin(θ) 0]
[sin(θ) cos(θ) 0]
[ 0 0 1]
Для угла -120 градусов:
R(-120) = [cos(-120) -sin(-120) 0]
[sin(-120) cos(-120) 0]
[ 0 0 1]
Раскладывая косинус и синус угла -120 градусов:
R(-120) = [-1/2 √3/2 0]
[-√3/2 -1/2 0]
[ 0 0 1]
При этом вектор (1,1,1) должен быть представлен в базисе e1,e2,e3, то есть как линейная комбинация базисных векторов:
a = 1*e1 + 1*e2 + 1*e3
= 1*(1,0,0) + 1*(0,1,0) + 1*(0,0,1)
= (1,1,1)
Теперь найдем новые базисные векторы. Поворот на угол -120 градусов не меняет длины векторов, поэтому новые базисные векторы будут равны:
e′1 = R(-120) * e1
e′2 = R(-120) * e2
e′3 = R(-120) * e3
Выполним расчеты:
e′1 = R(-120) * (1,0,0) = (-1/2, -√3/2, 0)
e′2 = R(-120) * (0,1,0) = (√3/2, -1/2, 0)
e′3 = R(-120) * (0,0,1) = (0, 0, 1)
Таким образом, новый базис e′1,e′2,e′3 получен поворотом стандартного базиса на угол 120 градусов по часовой стрелке.
Теперь, чтобы найти координаты вектора b=(1/√2,0,1/√2) в новом базисе, используем формулу для перехода координат вектора:
b′ = P * b
где b′ - координаты вектора b в новом базисе, P - матрица перехода из стандартного базиса в новый базис (составленная из базисных векторов нового базиса).
Составим матрицу перехода P:
P = [e′1 e′2 e′3]
= [(-1/2, √3/2, 0) (√3/2, -1/2, 0) (0, 0, 1)]
Подставляем координаты вектора b=(1/√2,0,1/√2):
b′ = P * (1/√2,0,1/√2)
= (-1/2, √3/2, 0) * (1/√2) + (√3/2, -1/2, 0) * 0 + (0, 0, 1) * (1/√2)
= (-1/2, √3/2, 0) * (1/√2) + (0, 0, 1/√2)
= (-1/(2√2), √3/(2√2), 0) + (0, 0, 1/(√2))
= (-1/(2√2), √3/(2√2), 1/(√2))
Таким образом, координаты вектора b=(1/√2,0,1/√2) в новом базисе e′1,e′2,e′3 после поворота на 120 градусов по часовой стрелке будут:
b′ = (-1/(2√2), √3/(2√2), 1/(√2))
Ответ проверен и готов.